Question

5．房山區(qū)某高中為了推進(jìn)新課程改革，滿足學(xué)生全面發(fā)展的需求，決定從高一年級(jí)開(kāi)始，在每周的周一、周三、周五的格外活動(dòng)期間同時(shí)開(kāi)設(shè)信息技術(shù)、美術(shù)素描和音樂(lè)欣賞輔導(dǎo)講座，每位同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門(mén)科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門(mén)科目的輔導(dǎo)講座．（規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時(shí)稱為滿座，否則稱為不滿座）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座的概率如下表：

	信息技術(shù)	美術(shù)素描	音樂(lè)欣賞
周一	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
周三	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
周五	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

（1）求音樂(lè)欣賞輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率；
（2）設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A，利用對(duì)立事件和獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式能夠求出數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A，
則P（A）=（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{18}$．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{12}$，
P（X=1）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{6}$

故Eξ=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．