Question

13．若函數(shù)f（x）=m-$\sqrt{x+3}$的定義域為[a，b]，值域為[a，b]，則m的取值范圍是（-$\frac{9}{4}$，-2]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進行求解即可．

解答 解：函數(shù)的定義域為[-3，+∞），
則函數(shù)f（x）在[a，b]上為減函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=b}\\{f（b）=a}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m-\sqrt{a+3}=b}\\{m-\sqrt{b+3}=a}\end{array}\right.$，
即m=b+$\sqrt{a+3}$①，且m=a+$\sqrt{b+3}$，②
即b+$\sqrt{a+3}$=a+$\sqrt{b+3}$，
則$\sqrt{a+3}$-$\sqrt{b+3}$=a-b=（a+3）-（b+3）=（$\sqrt{a+3}$-$\sqrt{b+3}$）（$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{b+3}$），
則$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{b+3}$=1
①+②得2m=a+b+$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{b+3}$=a+b+1，
設(shè)p=$\sqrt{a+3}$，q=$\sqrt{b+3}$，則p+q=1，a=p²-3，b=q²-3=（1-p）²-3，
代入得m=$\frac{a+b+1}{2}$=p²-p-2=（p-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∵p+q=1，且p，q為非負數(shù)，則0≤p≤1，
∴由二次函數(shù)的值域可得，當p=$\frac{1}{2}$時，q=$\frac{1}{2}$，與a＜b矛盾，
m取不到最小值-$\frac{9}{4}$，
當p=0或1時，m取得最大值-2，
故m的取值范圍是（-$\frac{9}{4}$，-2]，
故答案為：（-$\frac{9}{4}$，-2]

點評 本題主要考查函數(shù)定義域和值域的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．