Question

11．當x滿足log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-x）≥-2時，求函數(shù)y=4^-x-2^-x+1的最值及相應的x的值．

Answer 1

分析 解對數(shù)不等式可得-1≤x＜3，換元可化原問題為y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$在t∈（$\frac{1}{8}$，2]的最值，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-x）≥-2等價于log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-x）≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$4，
由對數(shù)函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x在（0，+∞）單調(diào)遞減可得0＜3-x≤4，
解得-1≤x＜3，∴t=2^-x∈（$\frac{1}{8}$，2]，
∴y=4^-x-2^-x+1=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函數(shù)可得y在t∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$）單調(diào)遞減，在t∈（$\frac{1}{2}$，2）單調(diào)遞增，
∴當t=2^-x=$\frac{1}{2}$即x=1時，函數(shù)取最小值$\frac{3}{4}$；
當t=2^-x=2即x=-1時，函數(shù)取最大值3．

點評 本題考查對數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及換元法和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎題．