Question

5．若半徑為r的圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓心C到直線l：Dx+Ey+F=0的距離為d，其中D²+E²=F²，且F＞0．
（1）求F的范圍；
（2）求證：d²-r²為定值；
（3）是否存在定圓M，使得圓M既與直線l相切又與圓C相離？若存在，請(qǐng)求出定圓M的方程，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出即可；（2）先求出圓心和半徑以及圓心C到直線l的距離d，從而得到答案；（3）分別證明圓M與直線l相切，圓M與圓C相離，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）∵D²+E²＞4F，又D²+E²=F²，且F＞0，
∴F²＞4F，解得：F＞4；
（2）易得圓C的圓心C（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），半徑r=$\frac{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}-4F}}{2}$=$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$，
圓心C到直線l的距離d=$\frac{|D×（-\frac{D}{2}）+E×（-\frac{E}{2}）+F|}{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}}}$=$|\frac{F-2}{2}|$，
∴d²-r²=${|\frac{F-2}{2}|}^{2}$-${（\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}）}^{2}$=1；
（3）存在定圓M：x²+y²=1滿足題意，
證明如下：
1°：∵M(jìn)（0，0）到直線l的距離為：$\frac{|F|}{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}}}$=1=R，
∴圓M與直線l相切；
2°：∵CM=$\sqrt{{（0+\frac{D}{2}）}^{2}{+（0+\frac{E}{2}）}^{2}}$=$\frac{F}{2}$，且R+1=$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$+1，
∴$\frac{F}{2}$＞$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$+1?${（\frac{F}{2}-1）}^{2}$＞$\frac{{F}^{2}-4F}{4}$?4＞0，
∴CM＞R+1，∴圓M與圓C相離，
綜上，存在定圓M：x²+y²=1滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了直線和圓的位置關(guān)系，考察圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題．