Question

14．已知函數(shù)f（x）=alnx+bx在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行，函數(shù)f（x）在[1，e]上是單調(diào)函數(shù)且最小值為0．
（1）求實(shí)數(shù)a，b；
（2）對(duì)一切x∈（0，+∞），xf（x）≤x²-cx+12恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件，可得a+b=1，討論f（x）在[1，e]的單調(diào)性，可得最小值，解方程即可得到a，b，注意檢驗(yàn)；
（2）運(yùn)用參數(shù)分離，可得c≤x+$\frac{12}{x}$-lnx在（0，+∞）恒成立．令g（x）=x+$\frac{12}{x}$-lnx，x＞0，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，即可得到最小值，即可得到c的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=alnx+bx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=b+$\frac{a}{x}$，
即有在x=1處的切線斜率為a+b，
由題意可得a+b=1，
若函數(shù)f（x）在[1，e]上是單調(diào)遞增，則f（1）=0，
即有b=0，a=1；
若函數(shù)f（x）在[1，e]上是單調(diào)遞減，則f（e）=0，
即有a+be=0，解得a=$\frac{-e}{1-e}$，b=$\frac{1}{1-e}$，
即有f′（x）=$\frac{1}{1-e}$-$\frac{ex}{1-e}$，在[1，e]上f′（x）＞0，
即有f（x）在[1，e]上遞增，不成立．
則有a=1，b=0；
（2）f（x）=lnx，
對(duì)一切x∈（0，+∞），xf（x）≤x²-cx+12恒成立，
即有c≤x+$\frac{12}{x}$-lnx在（0，+∞）恒成立．
令g（x）=x+$\frac{12}{x}$-lnx，x＞0，
g′（x）=1-$\frac{12}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-4）（x+3）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞4時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有g(shù)（x）在x=4處取得極小值，也為最小值，且為7-2ln2，
則有c≤7-2ln2．
則c的取值范圍是（-∞，7-4ln2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和二次不等式的解法，運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．