Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)，PD=AD=2，AB=4．則點(diǎn)A到平面PMN的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，證明AE∥MN，可得點(diǎn)A到平面PMN的距離等于E到平面PMN的距離，由V_E-PMN=V_M-PEN，可得點(diǎn)A到平面PMN的距離．

解答 解：取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，則
∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)，
∴NE∥AM，NE=AM，
∴AENM是平行四邊形，
∴AE∥MN，
∴點(diǎn)A到平面PMN的距離等于E到平面PMN的距離，設(shè)為h，
△PMN中，PN=$\sqrt{5}$，PM=2$\sqrt{3}$，MN=$\sqrt{5}$，∴S_△PMN=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$，
由V_E-PMN=V_M-PEN，可得$\frac{1}{3}×\sqrt{6}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×2$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)A到平面PMN的距離，考查學(xué)生的計算能力，點(diǎn)A到平面PMN的距離轉(zhuǎn)化為E到平面PMN的距離是關(guān)鍵．