Question

4．設(shè)區(qū)域Ω內(nèi)的點(diǎn)（x，y）滿足 $\left\{\begin{array}{l}{x^2+y^2+6x+6y+2＜0}\\{x^2-y^2+6x-6y＜0}\end{array}\right.$，則區(qū)域Ω的面積是8π；若x，y∈Z，則2x+y的最大值是-2．

Answer 1

分析 作出區(qū)域Ω的圖形，利用線性規(guī)劃知識的應(yīng)用及圓的面積、直線方程中截距的幾何意義，可求得答案．

解答 解：區(qū)域Ω內(nèi)的點(diǎn)（x，y）滿足 $\left\{\begin{array}{l}{x^2+y^2+6x+6y+2＜0}\\{x^2-y^2+6x-6y＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{（x+3）}^{2}{+（y+3）}^{2}＜16}\\{（x+y+6）（x-y）＜0}\end{array}\right.$，則區(qū)域Ω如圖：
由于方程為y=x+y+6與y=x的兩直線均經(jīng)過（x+3）²+（y+3）²=16的圓心O′（-3，-3），且兩者垂直，
∴陰影部分的面積為圓O′面積的$\frac{1}{2}$，即S_陰影=$\frac{1}{2}$×π×4²=8π；
（2）∵x，y∈Z，令z=2x+y，顯然，當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過（-1，0）時，z的值最大，
即2x+y的最大值是-2．
故答案為：8π；-2．

點(diǎn)評 本題考查二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，突出考查作圖能力，屬于中檔題．