Question

11．設(shè)集合A={0，-4}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，x∈R}．若B⊆A，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分類討論：由B⊆A可得B=∅，或{0}，或{-4}，或{0，-4}．
當B=∅時，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0無實根，由△=4（a+1）²-4（a²-1）＜0解a的范圍；
當B為單元素集合時，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有兩個相等的實根，
由△=0解a的值，代入方程驗證是否符合題意；
當B為2元素集合時，B={0，-4}，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有兩個不相等的實根0和-4，
由△＞0，解a的范圍，將x=0和x=-4分別代入方程求出a的值，與a的范圍取交集．

解答 解：由B⊆A可得B=∅，或{0}，或{-4}，或{0，-4}．
當B=∅時，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0無實根，
△=4（a+1）²-4（a²-1）＜0，解得a＜-1；
當B為單元素集合時，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有兩個相等的實根，
△=4（a+1）²-4（a²-1）=0，解得a=-1，方程為x²=0，解得B={0}；
當B為2元素集合時，B={0，-4}，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有兩個不相等的實根0和-4，
△=4（a+1）²-4（a²-1）＞0，解得a＞-1，將x=0代入方程得a=1，將x=-4代入方程得a=1，或a=7．
檢驗a=7，B中不含0，不成立．
綜上所述，a的取值范圍是：a≤-1，或a=1．

點評 本題考查集合之間的包含關(guān)系，分類討論的思想，屬于中檔題．