Question

已知點(diǎn)P在雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1上，且左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，記直線PA₁的斜率為k₁，直線PA₂的斜率為k₂，
（1）若P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，則k₁•k₂=

 

．
（2）若直線PA₁的斜率k₁的取值范圍是[-

1

9

，-

1

18

]，則直線PA₂的斜率k₂的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得P（5，

8

3

）或P（5，-

8

3

），A₁（-3，0），A₂（3，0），由此能求出k₁k₂=

4

9

．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則

x02

9

-

y02

4

=1，

y02

x02-9

=

4

9

，由A₁（-3，0），A₂（3，0），知k₁k₂=

y0

x0+3

•

y0

x0-3

=

y02

x02-9

=

4

9

，由此利用直線PA₁的斜率k₁的取值范圍能求出直線PA₂的斜率k₂的取值范圍．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P在雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1上，且左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，
P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，
∴P（5，

8

3

）或P（5，-

8

3

），
A₁（-3，0），A₂（3，0），
∴取P（5，

8

3

），得k1=

8 3

8

=

1

3

，k2=

8 3

2

=

4

3

，
∴k₁k₂=

4

9

；
取P（5，-

8

3

），得k1=

- 8 3

8

=-

1

3

，k2=-

8 3

2

=-

4

3

，
∴k₁k₂=

4

9

．
綜上，k₁k₂=

4

9

．
故答案為：

4

9

．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則

x02

9

-

y02

4

=1，
∴

y02

x02-9

=

4

9

，
∵A₁（-3，0），A₂（3，0），
∴k₁k₂=

y0

x0+3

•

y0

x0-3

=

y02

x02-9

=

4

9

，
∵直線PA₁的斜率k₁的取值范圍是[-

1

9

，-

1

18

]，
∴直線PA₂的斜率k₂的取值范圍是[-8，-4]．
故答案為：[-8，-4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線的斜率之積的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．