Question

19．如圖AB是半圓O的直徑，C，D是弧$\widehat{AB}$的三等分點(diǎn)，M，N是線段AB的三等分點(diǎn)，若OA=6，則$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{ND}$=（　�。�

• A． 18
• B． 8
• C． 26
• D． 35

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的三角形法則，把要求向量數(shù)量積的兩個(gè)向量變化為兩個(gè)向量和的形式，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，展開代入向量的模長和夾角，得到結(jié)果．

解答 解：連接OC，OD，
∵C、D是弧AB的三等分點(diǎn)，
∴∠AOC=∠DOC=∠DOB=60°，
∵M(jìn)、N是線段AB的三等分點(diǎn)，OA=6，
∴|$\overrightarrow{MO}$|=|$\overrightarrow{NO}$|=2，|$\overrightarrow{OD}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=6．
∵$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{ND}$=$\overrightarrow{NO}$+$\overrightarrow{OD}$，
∴$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{ND}$=（$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{NO}$+$\overrightarrow{OD}$）
=$\overrightarrow{MO}$•$\overrightarrow{NO}$+$\overrightarrow{MO}$•$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{NO}$•$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$
=-4+2×6×$\frac{1}{2}$+2×6×$\frac{1}{2}$+6×6×$\frac{1}{2}$=26．
故選C．

點(diǎn)評 本題主要考查向量的三角形法則、向量的數(shù)量積、兩個(gè)向量的夾角等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．