Question

1．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，又當n∈N^*，且n＞1時，a_n=a₁+a₂+…+a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．n＞1時，a_n=a₁+a₂+…+a_n-1=S_n-1，利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）當n=1時，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{5}$＜$\frac{3}{5}$，成立．當n≥2時，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5•{2}^{n-2}}$，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．
∵n＞1時，a_n=a₁+a₂+…+a_n-1=S_n-1，
∴a_n+1=S_n，可得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，
∴a_n+1=2a_n．
而a₂=a₁=5，
∴數(shù)列{a_n}從第二項起為等比數(shù)列，公比為2．
∴a_n=5×2^n-2（n≥2）．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{5×{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）證明：當n=1時，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{5}$＜$\frac{3}{5}$，成立．
當n≥2時，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5•{2}^{n-2}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}（1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{{2}^{n-2}}）$=$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$＜$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了遞推公式、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．