Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$．
（1）求函數(shù)的值域和最小正周期；
（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，求出周期，由-1≤sin（x-$\frac{π}{3}$）≤1，求得函數(shù)f（x）的值域．
（2）利用正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)來(lái)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$
=cos$\frac{π}{3}$sinx-sin$\frac{π}{3}$cosx
=sin（x-$\frac{π}{3}$），
即f（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}$=2π，
又∵x∈R，
∴-1≤sin（x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?{y|-1≤y≤1}．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得2kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性，和值域，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，是解題的突破口．