Question

12．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點P為DD₁的中點．
（1）求三棱錐P-ACD的體積；
（2）求點D到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （1）由知得PD⊥平面ACD，PD=1，由此能求出三棱錐P-ACD的體積．
（2）設點D到平面PAC的距離為h，由V_D-PAC=V_P-ACD，能求出點D到平面PAC的距離．

解答 解：（1）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點P為DD₁的中點，
∴PD⊥平面ACD，PD=1，${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴三棱錐P-ACD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ACD}×PD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．
（2）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點P為DD₁的中點，
∴PC=PA=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設點D到平面PAC的距離為h，
∵V_D-PAC=V_P-ACD，
∵三棱錐P-ACD的體積V=$\frac{1}{6}$．
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△PAC}×h=\frac{1}{6}$，
∴h=$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴點D到平面PAC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，考查點到平面的距離的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．