Question

8．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=2，D是棱BB₁的中點(diǎn)，且BD=1，則C₁與平面ADC的距離為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{2}$

Answer 1

分析 以C為原點(diǎn)，在平面ABC為赤C作CB的垂線為x軸，以CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出C₁與平面ADC的距離．

解答 解：以C為原點(diǎn)，在平面ABC為赤C作CB的垂線為x軸，以CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，D是棱BB₁的中點(diǎn)，且BD=1，
∴C₁（0，0，2），A（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，1），C（0，0，0），
$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，2，1），
設(shè)平面ADC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$），
∴C₁與平面ADC的距離：d=$\frac{|\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|8\sqrt{3}|}{\sqrt{4+12+48}}$=$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．