【題目】如圖，正四棱錐的底邊長為2，側(cè)棱長為，為上一點，且，點，分別為，上的點，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求銳二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)知，又由相似三角形可得，

再結(jié)合面面平行的判定定理即可證明；

（2）由已知條件可推導出，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，

求出平面的法向量，利用公式即可求銳二面角的余弦值.

（1），且，

四邊形為平行四邊形，

，又平面，

平面，

，，，

，，又平面，

平面，

，平面，，

平面平面；

（2）如圖，連接，相交于點，連接，

四棱錐為正四棱錐，

，，

又，∴，且，

同理可得，∴，，兩兩垂直，

故建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，，，，

，，，

令平面的法向量為，

則即

解得

取，則，，

故，

同理可得平面的一個法向量，

∴，

銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）.設(shè)該蓄水池的底面半徑為米，高為米，體積為立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為元（為圓周率）.該蓄水池的體積最大時______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，E，F分別為AB的三等分點，，，，若沿著FG，ED折疊使得點A，B重合，如圖2所示，連結(jié)GC，BD

（1）求證：平面平面BCDE；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，判斷函數(shù)，（）有幾個零點，并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在綜合素質(zhì)評價的某個維度的測評中，依據(jù)評分細則，學生之間相互打分，最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個分數(shù)，滿分100分，按照大于或等于80分的為優(yōu)秀，小于80分的為合格，為了解學生的在該維度的測評結(jié)果，在畢業(yè)班中隨機抽出一個班的數(shù)據(jù).該班共有60名學生，得到如下的列聯(lián)表：

優(yōu)秀

合格

總計

男生

6

女生

18

合計

60

已知在該班隨機抽取1人測評結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.

（1）完成上面的列聯(lián)表；

（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為性別與測評結(jié)果有關(guān)系？

（3）現(xiàn)在如果想了解全校學生在該維度的表現(xiàn)情況，采取簡單隨機抽樣方式在全校學生中抽取少數(shù)一部分來分析，請你選擇一個合適的抽樣方法，并解釋理由.

附：

0.25

0.10

0.025

1.323

2.706

5.024

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“二進制”來源于我國古代的《易經(jīng)》，該書中有兩類最基本的符號：“—”和“——”，其中“—”在二進制中記作“1”，“——”在二進制中記作“0”，例如二進制數(shù)化為十進制的計算如下：.若從兩類符號中任取2個符號進行排列，則得到的二進制數(shù)所對應的十進制數(shù)大于2的概率為（ ）

A.0B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為五個等級，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、、五個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分數(shù)區(qū)間如下表：

等級

比例

賦分區(qū)間

而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計算：

其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，表示原始分，表示轉(zhuǎn)換分，當原始分為，時，等級分分別為、

假設(shè)小南的化學考試成績信息如下表：

考生科目

考試成績

成績等級

原始分區(qū)間

等級分區(qū)間

化學

75分

等級

設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級成績?yōu)?/span>，根據(jù)公式得：，

所以（四舍五入取整），小南最終化學成績?yōu)?7分.

已知某年級學生有100人選了化學，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級的化學等級成績，其中化學成績獲得等級的學生原始成績統(tǒng)計如下表：

成績

95

93

91

90

88

87

85

人數(shù)

1

2

3

2

3

2

2

（1）從化學成績獲得等級的學生中任取2名，求恰好有1名同學的等級成績不小于96分的概率；

（2）從化學成績獲得等級的學生中任取5名，設(shè)5名學生中等級成績不小于96分人數(shù)為，求的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端.某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種.

（1）當取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？

（2）當時，用表示要補播種的坑的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，為正三角形，平面平面，，為的中點，．

（1）求證：；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

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