Question

17．已知（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ的展式中沒有常數(shù)項，n∈N^*，且2≤n≤8，試求出n的值．

Answer 1

分析 要想使已知展開式中沒有常數(shù)項，需（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中無常數(shù)項、x^-1項、x^-2項，利用（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N⁺）的通項公式討論即可．

解答 解：設（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）展開式的通項為T_r+1，
則T_r+1=${C}_{n}^{r}$•x^n-r•x^-3r=${C}_{n}^{r}$•x^n-4r，2≤n≤8，
當n=2時，若r=1，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項${C}_{2}^{1}$，故n≠2；
當n=3時，若r=1，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項${C}_{3}^{1}$，故n≠3；
當n=4時，若r=1，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項${C}_{4}^{1}$，故n≠4；
當n=5時，r=0、1、2、3、4、5時，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中均沒有常數(shù)項，故n=5適合題意；
當n=6時，若r=2，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項${C}_{6}^{2}$，故n≠6；
當n=7時，若r=2，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項${C}_{7}^{2}$，故n≠7；
當n=8時，若r=2，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項${C}_{8}^{2}$，故n≠8；
綜上，n=5．

點評 本題考查了二項式定理以及二項展開式的通項公式與應用問題，也考查了分類討論思想的應用問題，屬于難題．