Question

14．如圖，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，連結(jié)BM
（1）求證：AD⊥BM；
（2）若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，三棱錐M-ADE的體積為$\frac{\sqrt{2}}{12}$；
（3）求二面角A-DM-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明AD⊥BM；
（2）建立空間坐標(biāo)系結(jié)合三棱錐M-ADE的體積為$\frac{\sqrt{2}}{12}$，建立方程關(guān)系即可；
（3）求出平面的法向量，結(jié)合坐標(biāo)系即可求二面角A-DM-C的正弦值．

解答 （1）證明：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點(diǎn)，∴AM=BM=$\sqrt{2}$，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
再由平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，∴BM⊥平面ADM，
結(jié)合AD?平面ADM，可得AD⊥BM．
（2）分別取AM，AB的中點(diǎn)O和N，則ON∥BM，
在（1）中證明BM⊥平面ADM，
∴ON⊥⊥平面ADM，ON⊥AM，ON⊥OD，
∵AD=DM，∴DO⊥AM，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則D（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∵E是線段DB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{DE}$=$λ\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ，$\sqrt{2}λ$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），
則E（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ，$\sqrt{2}λ$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}λ$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），
顯然$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面ADM的一個(gè)法向量．
點(diǎn)E到平面ADM的距離d=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$=$\sqrt{2}λ$，
則${V}_{M-ADE}=\frac{1}{3}{S}_{ADM}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{2}λ=\frac{\sqrt{2}}{12}$，
解得λ=$\frac{1}{2}$，則E為BD的中點(diǎn)．
（3）D（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），C（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
則$\overrightarrow{DM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{MC}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面CDM的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{m}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{m}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=1，z=-1，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
易知$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面ADM的法向量，
則cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
則sin＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\sqrt{1-\frac{3}{9}}=\sqrt{\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間直線的垂直的判斷，空間三棱錐的體積的計(jì)算，以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．