Question

18．已知函數(shù)f（x）=-sinx+ax（a為常數(shù)）．
（1）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，cosx≥-$\frac{1}{2}$x²+1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥cosx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，求出a的范圍即可；（2）令g（x）=cosx+$\frac{1}{2}$x²-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）≥0，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-sinx+ax，f′（x）=-cosx+a，
若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
則-cosx+a≥0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
則a≥cosx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
則a≥1；
（2）證明：令g（x）=cosx+$\frac{1}{2}$x²-1，
則g′（x）=-sinx+x，g″（x）=-cosx+1≥0，
故g′（x）在[0，$\frac{π}{2}$]遞增，
故g′（0）≥0，g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]遞增，
故g（x）≥g（0）0，
故x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，cosx≥-$\frac{1}{2}$x²+1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．