Question

9．設A、B分別為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點，P，Q是雙曲線C上關于x軸對稱的不同兩點，設直線AP、BQ的斜率分別為m、n，則$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$+$\frac{1}{2|mn|}$+ln|m|+ln|n|取得最小值時，雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀），則Q（x₀，-y₀），y₀²=b²（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-1）．A（-a，0），B（a，0），利用斜率計算公式得到：mn=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，則$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$+$\frac{1}{2|mn|}$+ln|m|+ln|n|=$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$+$\frac{{a}^{2}}{2^{2}}$+ln$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=f（$\frac{a}$），令$\frac{a}$=t＞0，則f（t）=$\frac{2}{t}$+t+$\frac{1}{2}$t²-2lnt．利用導數(shù)研究其單調性，求得最小值點，再由離心率公式即可得出．

解答 解：設P（x₀，y₀），則Q（x₀，-y₀），y₀²=b²（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-1），
即有$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
由雙曲線的方程可得A（-a，0），B（a，0），
則m=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，n=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
∴mn=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$+$\frac{1}{2|mn|}$+ln|m|+ln|n|
=$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$+$\frac{{a}^{2}}{2^{2}}$+ln$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$
=f（$\frac{a}$），
令$\frac{a}$=t＞0，則 f（t）=$\frac{2}{t}$+t+$\frac{1}{2}$t²-2lnt．
f′（t）=-$\frac{2}{{t}^{2}}$+1+t-$\frac{2}{t}$=$\frac{（t+1）（{t}^{2}-2）}{{t}^{2}}$，
可知：當t=$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（t）取得最小值
f（$\sqrt{2}$）=$\frac{2}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×2-2ln $\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$+1-ln2．
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．