Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a，若x∈[-2，2]的函數(shù)值大于0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)對稱軸與[-2，2]的關(guān)系判斷f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出f_min（x），令f_min（x）＞0得出a的范圍．

解答 解：f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$．
（1）若-$\frac{a}{2}$≤-2，即a≥4時，f（x）在[-2，2]上是增函數(shù)，∴f_min（x）=f（-2）=7-3a，
令f_min（x）＞0，即7-3a＞0，解得a＜$\frac{7}{3}$（舍）．
（2）若-$\frac{a}{2}$≥2，即a≤-4時，f（x）在[-2，2]上是減函數(shù)，∴f_min（x）=f（2）=7+a．
令f_min（x）＞0，即7+a＞0，解得a＞-7，∴-7＜a≤-4．
（3）若-2＜-$\frac{a}{2}$＜2，即-4＜a＜4時，f（x）在[-2，-$\frac{a}{2}$]上是減函數(shù)，在（-$\frac{a}{2}$，2]上是增函數(shù)，∴f_min（x）=f（-$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+3．
令f_min（x）＞0，即-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+3＞0，解得-6＜a＜2，∴-4＜a＜2．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-7，2）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，需要討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．