Question

4．△ABC的三邊a，b，c對應(yīng)的三個角分別為A，B，C．
①若acosA=bcosB，則△ABC為等腰或直角三角形；
②若acosB=bcosA，則△ABC為等腰三角形；
③若a=bcosC，則△ABC為直角三角形．

Answer 1

分析 ①若acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，于是sin2A=sin2B，即可得出；
②若acosB=bcosA，利用正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA，可得tanA=tanB，即可得出．
③若a=bcosC，利用余弦定理a=b$•\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化為：a²+c²=b²，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：①若acosA=bcosB，則sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A+2B=π，∴A=B，或A+B=$\frac{π}{2}$．
△ABC為等腰或直角三角形；
②若acosB=bcosA，則sinAcosB=sinBcosA，∴tanA=tanB，A，B∈（0，π），∴A=B．則△ABC為等腰三角形．
③若a=bcosC，則a=b$•\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化為：a²+c²=b²，∴B=RT∠，則△ABC為直角三角形．
故答案分別為：等腰或直角；等腰；直角．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及其性質(zhì)、倍角公式、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．