Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a _n+1=2ⁿ+2a_n，則a_n=n•2^n-1．

Answer 1

分析 通過將等式a _n+1=2ⁿ+2a_n兩邊同時除以2^n-1、化簡可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，進而數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以首項、公差均為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a _n+1=2ⁿ+2a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{2{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以首項、公差均為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n，
∴a_n=$\frac{1}{2}$n•2ⁿ=n•2^n-1，
故答案為：n•2^n-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．