Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$-1（a為實數(shù)）．
（1）當a=0時，若函數(shù)y=g（x）為奇函數(shù)，且在x＞0時，g（x）=f（x），求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）當a＜0時，求關(guān)于x的方程f（x）=0在實數(shù)集R上的解．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，函數(shù)f（x）=2^x-1，結(jié)合在x＞0時，g（x）=f（x），函數(shù)y=g（x）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）令t=2^x，則t＞0，則方程f（x）=0可化為：t+$\frac{a}{t}$-1=0，結(jié)合a＜0，解方程，可得答案．

解答 解：（1）當a=0時，函數(shù)f（x）=2^x-1，
∵函數(shù)y=g（x）為奇函數(shù)，且x＞0時，g（x）=f（x）=2^x-1，
∴當x＜0時，-x＞0，此時g（-x）=2^-x-1=-g（x），
即g（x）=1-2^-x，
又∵當x=0時，g（x）=0，
∴y=g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2}^{x}-1，x≥0\\ 1-{2}^{-x}，x＜0\end{array}\right.$；
（2）令t=2^x，則t＞0，
則方程f（x）=0可化為：t+$\frac{a}{t}$-1=0，
解得：t=$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$，或t=$\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2}$（舍去），
故x=${log}_{2}\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，指數(shù)方程的求解，難度中檔．