Question

13．設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=a_na_n+1（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_2n}是等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；
（2）確定a₁的值，使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，可得a_n+1-a_n-1=2，n≥2，數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均組成等差數(shù)列，即可證明數(shù)列{a_2n}是等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，偶數(shù)項(xiàng)的公差為2，a₂=2，即可確定a₁的值，使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

解答 解：（1）∵2S_n=a_na_n+1（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁a₂（n∈N^*），
∴a₂=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_na_n+1-$\frac{1}{2}$a_n-1a_n=a_n，
∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，n≥2，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均組成等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_2n}是等差數(shù)列，通項(xiàng)公式a_2n=2n；
（2）由（1）知，偶數(shù)項(xiàng)的公差為2，a₂=2，
∴a₁=1時(shí)，使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．