Question

6．已知非零平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=3，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=2，則向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{c}$方向上的投影為$\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件容易求出向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{c}$方向上的投影為$\frac{3}{2}$，并且根據(jù)條件可得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{c}$，從而可設(shè)$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（0，2），\overrightarrow{c}=（2，0）$，可設(shè)$\overrightarrow{a}=（x，y），\overrightarrow=（x，2-y）$，由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=3$便可得出x=$\frac{3}{2}$，從而$\overrightarrow{a}=（\frac{3}{2}，y），\overrightarrow=（\frac{3}{2}，y-2）$，這便可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{9}{4}+{y}^{2}-2y$，配方便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的最小值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{c}$方向上的投影為：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}=\frac{3}{2}$；
由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow•\overrightarrow{c}$得，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{c}=0$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{c}$；
∵$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=|\overrightarrow{c}|=2$；
∴設(shè)$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（0，2），\overrightarrow{c}=（2，0）$，設(shè)$\overrightarrow{a}=（x，y）$，則$\overrightarrow=（x，y-2）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=2x=3$；
∴$x=\frac{3}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}=（\frac{3}{2}，y），\overrightarrow=（\frac{3}{2}，y-2）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{9}{4}+{y}^{2}-2y=（y-1）^{2}+\frac{5}{4}≥\frac{5}{4}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的最小值為$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{2}，\frac{5}{4}$．

點評 考查一個向量在另一個向量方向上的投影的計算公式，向量數(shù)乘的運算，向量垂直的充要條件，利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，配方求二次函數(shù)最值的方法．