Question

15．根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某河流每年最高水位X（單位：米）的頻率分布直方圖如圖：
將河流最高水位落入各組的頻率作為概率，并假設(shè)每年河流最高水位相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求在未來3年里，至多有1年河流最高水位X∈[27，31）的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；
（Ⅱ）該河流對(duì)沿河A企業(yè)影響如下：當(dāng)X∈[23，27）時(shí)，不會(huì)造成影響；當(dāng)X∈[27，31）時(shí)，損失10000元；當(dāng)X∈[31，35]時(shí)，損失60000元．為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對(duì)方案：
方案一：防御35米的最高水位，每年需要工程費(fèi)用3800元；
方案二：防御31米的最高水位，每年需要工程費(fèi)用2000元；
方案三：不采取措施；
試比較上述三種方案，哪種方案好，并請(qǐng)說明情況．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題設(shè)得在未來3年里，河流最高水位X∈[27，31）發(fā)生的年數(shù)為Y，則Y～N（3，$\frac{1}{4}$），由此能求出未來3年里，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率．
（Ⅱ）由題設(shè)得P（23≤X＜27）=0.74，P（31≤X≤35）=0.01，用X₁，X₂，X₃分別表示方案一、方案二、方案三的損失，分別求出X₁，X₂，X₃的數(shù)學(xué)期望，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)得P（27≤X《31）=0.25=$\frac{1}{4}$，
∴在未來3年里，河流最高水位X∈[27，31）發(fā)生的年數(shù)為Y，則Y～N（3，$\frac{1}{4}$），
記事件“在未來3年里，至多有1年河流水位X∈[27，31）”為事件A，
則P（A）=P（Y=0）+P（Y=1）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}+{C}_{3}^{1}（\frac{3}{4}）^{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{27}{32}$，
∴未來3年里，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率為$\frac{27}{32}$．
（Ⅱ）由題設(shè)得P（23≤X＜27）=0.74，
P（31≤X≤35）=0.01，
用X₁，X₂，X₃分別表示方案一、方案二、方案三的損失，
由題意得X₁=3800，
X₂的分布列為：

X2	2000	52000
P	0.99	0.01

E（X₂）=62000×0.01+200×0.99=2600，
X₃的分布列為：

X3	0	10000	60000
P	0.74	0.25	0.01

∴E（X₃）=60000×0.01+10000×0.25=3100，
∵三種方案采取方案二的損失最小，∴采取方案二好．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查最佳方案的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．