Question

9．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點(diǎn)F，且點(diǎn)F在CE上．
（Ⅰ）求證：AE⊥BE；
（Ⅱ）求點(diǎn)F到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得AD∥BC，AE⊥BC，BF⊥AE，由此能證明AE⊥BE．
（Ⅱ）以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EB為y軸，過E作垂直于平面ABE的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)F到平面ABC的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，
∵BE?平面BCE，∴AE⊥BE．
（Ⅱ）以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EB為y軸，過E作垂直于平面ABE的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點(diǎn)F，且點(diǎn)F在CE上．
∴E（0，0，0），C（0，2，2），B（0，2，0），A（2，0，0），
設(shè)F（a，b，c），$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{EC}$，則（a，b，c）=（0，2λ，2λ），∴F（0，2λ，2λ），
$\overrightarrow{BF}$=（0，2λ-2，2λ），$\overrightarrow{EC}$=（0，2，2），
則$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{EC}$=2（2λ-2）+2λ•2=0，解得$λ=\frac{2}{3}$，∴F（0，$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，2），$\overrightarrow{AF}$=（-2，$\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$），
設(shè)平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，x），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，1，0）$，
∴點(diǎn)F到平面ABC的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2+\frac{4}{3}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴點(diǎn)F到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．