Question

6．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足：①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③對任意實(shí)數(shù)x，f（x）≥$\frac{1}{4a}$-$\frac{1}{2}$恒成立，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)f（x）滿足的條件①、②、③，列出方程組，求出a、b、c的值即可．

解答 解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足條件：①f（3-x）=f（x），即函數(shù)圖象關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$對稱；
②f（1）=0；
③對任意實(shí)數(shù)x，f（x）≥$\frac{1}{4a}$-$\frac{1}{2}$恒成立，即函數(shù)存在最小值$\frac{1}{4a}$-$\frac{1}{2}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{2a}=\frac{3}{2}}\\{a+b+c=0}\\{\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}=\frac{1}{4a}-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-3，c=2；
∴f（x）=x²-3x+2．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．