【題目】已知圓: 過橢圓: ()的短軸端點(diǎn), , 分別是圓與橢圓上任意兩點(diǎn),且線段長度的最大值為3.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)作圓的一條切線交橢圓于, 兩點(diǎn),求的面積的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)1.
【解析】試題分析: (Ⅰ)根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)得線段長度的最大值為,且,解出,得橢圓的方程;(Ⅱ)利用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理及弦長公式可得底邊長(用斜率及表示);利用點(diǎn)到直線距離公式得三角形的高(用斜率及表示);根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得斜率與關(guān)系,代入面積公式并化簡得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,最后利用基本不等式求最值.
試題解析:解:(Ⅰ)∵圓過橢圓的短軸端點(diǎn),∴,又∵線段長度的最大值為3,
∴,即,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅱ)由題意可設(shè)切線的方程為,即,則,得.①
聯(lián)立得方程組消去整理得.
其中,
設(shè), ,則, ,
則.②
將①代入②得,∴,
而,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng),即.
綜上可知: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像,若,求函數(shù)的值域;
(2)已知,分別為中角的對(duì)邊,且滿足,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知⊙C:x2+y2+2x-4y+1=0.
(1)若⊙C的切線在x軸、y軸上截距相等,求切線的方程.
(2)從圓外一點(diǎn)P(x0,y0)向圓引切線PM,M為切點(diǎn),O為原點(diǎn),若|PM|=|PO|,求使|PM|最小的P點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:f(x)=2/(x-m)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù);;命題q:2x-1+2m>0對(duì)任意x∈R恒成立.若(p)∧q為真,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (m,n∈R)在x=1處取得極值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)k為何值時(shí),方程f(x)-k=0只有1個(gè)根
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2ax+a,若對(duì)于任意x1∈R,總存在x2∈[-1,0],使得g(x2)≤f(x1),求a的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=AC=AA1,AB⊥AC,M是CC1的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段A1B1上運(yùn)動(dòng).
(Ⅰ)求證:PN⊥AM;
(Ⅱ)試確定點(diǎn)P的位置,使直線PN和平面ABC所成的角
最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中為常數(shù),).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),是否存在實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí),不等式恒成立?如果存在,求的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說明理由(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且是偶函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)證明:函數(shù)在上是減函數(shù);
(3)當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電子元件廠對(duì)一批新產(chǎn)品的使用壽命進(jìn)行檢驗(yàn),并且廠家規(guī)定使用壽命在為合格品,使用壽命超過500小時(shí)為優(yōu)質(zhì)品,質(zhì)檢科抽取了一部分產(chǎn)品做樣本,經(jīng)檢測統(tǒng)計(jì)后,繪制出了該產(chǎn)品使用壽命的頻率分布直方圖(如圖):
(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該廠產(chǎn)品為合格品或優(yōu)質(zhì)品的概率,并估計(jì)該批產(chǎn)品的平均使用壽命;
(2)從這批產(chǎn)品中,采取隨機(jī)抽樣的方法每次抽取一件產(chǎn)品,抽取4次,若以上述頻率作為概率,記隨機(jī)變量為抽出的優(yōu)質(zhì)品的個(gè)數(shù),列出的分布列,并求出其數(shù)學(xué)期望.
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