Question

18．若直線ax+by=4與不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域無公共點(diǎn)，則a+b的取值范圍（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，3）
• B． （-3，3）
• C． （-3，$\frac{3}{2}$）
• D． （-1，3）

Answer 1

分析 由題意畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，結(jié)合直線ax+by=4與不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域無公共點(diǎn)得到關(guān)于a，b的不等式組，然后利用線性規(guī)劃知識(shí)求得a+b的取值范圍．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得A（1，2）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}\right.$，解得B（-4，0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}\right.$，解得C（4，-4）．
要使直線ax+by=4與不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域無公共點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{a+2b-4＞0}\\{-4a-4＞0}\\{a-b-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+2b-4＜0}\\{-4a-4＜0}\\{a-b-1＜0}\end{array}\right.$．
（a，b）所在平面區(qū)域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{a-b-1=0}\end{array}\right.$，解得M（-1，-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a-b-1=0}\\{a+2b-4=0}\end{array}\right.$，解得N（2，1），
令t=a+b，即b=-a+t，
∴當(dāng)直線b=-a+t過M時(shí)，t有最小值為-3；當(dāng)直線b=-a+t過N時(shí)t有最大值為3．
∴t=a+b的范圍是（-3，3）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．