Question

7．設(shè)a是一個(gè)接近于$\sqrt{2}$的正有理數(shù)，并且b=$\frac{a+2}{a+1}$．
（1）證明：$\sqrt{2}$在a與b之間，且b比a更接近于$\sqrt{2}$；
（2）請(qǐng)你在求出另一個(gè)代數(shù)式，使它表示a與$\sqrt{2}$之間的有理數(shù)，且比b更接近于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，再因式分解，確定其符號(hào)，即可得到$\sqrt{2}$在a與b之間；再利用作差法，判斷|b-$\sqrt{2}$|-|a-$\sqrt{2}$|＜0，即可得到結(jié)論；
（2）首先利用作差法判斷$\sqrt{2}$在$\frac{a}$和$\frac{a+2b}{a+b}$之間，然后分別取b=1，2，對(duì)$\frac{a+4}{a+2}，\frac{a+2}{a+1}$作出比較得答案．

解答 （1）證明：∵b-$\sqrt{2}$=$\frac{a+2}{a+1}$-$\sqrt{2}$=$\frac{a+2-\sqrt{2}a-\sqrt{2}}{a+1}$=$\frac{（a-\sqrt{2}）（1-\sqrt{2}）}{a+1}$．
若0＜a$＜\sqrt{2}$，則b-$\sqrt{2}＞0$，b$＞\sqrt{2}$；
若a$＞\sqrt{2}$，則$b-\sqrt{2}＜0$，b$＜\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{2}$在a與b之間．
又：|b-$\sqrt{2}$|-|a-$\sqrt{2}$|=|a-$\sqrt{2}$|×$\frac{\sqrt{2}-2-a}{a+1}$．
∵$\sqrt{2}-2＜0，a＞0$，
∴$\frac{\sqrt{2}-2-a}{a+1}$＜0，
∵|a-$\sqrt{2}$|＞0，
∴|b-$\sqrt{2}$|-|a-$\sqrt{2}$|＜0，
∴|y-$\sqrt{2}$|＜|a-$\sqrt{2}$|，即b比a更接近于$\sqrt{2}$；
（2）解：∵$（\sqrt{2}-\frac{a}）（\sqrt{2}-\frac{a+2b}{a+b}）=\frac{（\sqrt{2}b-a）^{2}（1-\sqrt{2}）}{b（a+b）}＜0$．
∴$\sqrt{2}$在$\frac{a}$和$\frac{a+2b}{a+b}$之間，
當(dāng)b=1時(shí)，$\frac{a+2b}{a+b}=\frac{a+2}{a+1}$，
當(dāng)b=2時(shí)，$\frac{a+2b}{a+b}=\frac{a+4}{a+2}$，
$\frac{a+4}{a+2}-\frac{a+2}{a+1}=\frac{{a}^{2}+5a+4-{a}^{2}-4a-4}{（a+2）（a+1）}=\frac{a}{（a+2）（a+1）}＞0$．
∴$\frac{a+4}{a+2}$比$\frac{a+2}{a+1}$更接近于$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查作差法的運(yùn)用，確定差的符號(hào)是關(guān)鍵，屬難題．