5.設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且acosC+$\frac{1}{2}$c=b.
(1)求A的大;
(2)若a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求b+c的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)正弦定理將原式轉(zhuǎn)化成sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB,利用三角形的內(nèi)角和為π及兩角和的正弦求得cosA的值,根據(jù)A的取值范圍,即可求得A的大;
(2)由正弦定理及(1)可知:b=sinB,c=sinC,將b+c轉(zhuǎn)化成$\sqrt{3}$sin(B+$\frac{π}{6}$),根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)及B的取值范圍,即可求得b+c的取值范圍.

解答 解:(1)∵cosC+$\frac{1}{2}$c=b.
根據(jù)正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$,
∴sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB,
在三角形中:A+B+C=π,
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinAcosC+cosAsinC,
$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC,
∵sinC≠0,
∴cosA=$\frac{1}{2}$,
∵0<A<π,
A=$\frac{π}{3}$;
(2)由正弦定理可知:$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin\frac{π}{3}}$=1,
∴b=sinB,c=sinC,
∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin($\frac{2π}{3}$-B)=$\sqrt{3}$sin(B+$\frac{π}{6}$),
∵0<B<$\frac{2π}{3}$,
∴$\frac{π}{6}$<B+$\frac{π}{6}$<$\frac{5π}{6}$,
$\frac{1}{2}$<sin(B+$\frac{π}{6}$)≤1
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$<b+c≤$\sqrt{3}$,
∴b+c的取值范圍.($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sqrt{3}$].

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理及三角恒等變形相結(jié)合,考查正弦函數(shù)的性質(zhì),考查綜合分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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15.某空間幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( 。
A.$\frac{27\sqrt{3}}{2}$B.$\frac{27\sqrt{35}}{2}$C.$\frac{27}{2}$($\sqrt{3}$+$\sqrt{35}$)D.$\frac{27}{2}$($\sqrt{35}$-$\sqrt{3}$)

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16.若(1-i)2=|1+i|2z(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和為( 。
A.1B.0C.-1D.2

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A.0B.$\frac{3}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.1

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20.如圖所示,要圍建一個(gè)面積為400m2的矩形場(chǎng)地,要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻時(shí)需要維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為3m的進(jìn)出口,已知舊墻的維修費(fèi)用為56元/m,新墻的造價(jià)為200元/m,設(shè)利用舊墻的長(zhǎng)度為x(單位:m),修建此矩形場(chǎng)地的總費(fèi)用為y(單位:元).
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)試確定x的值,使修建此矩形場(chǎng)地的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用.

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10.通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)多名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),建立列聯(lián)表后,由K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$算得:K2=7.8,附表如下:
P(K2≥K)0.0500.0100.001
K3.8416.63510.828
參照附表:得到的正確結(jié)論是(  )
A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”
C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

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17.已知x,y,z均大于1,a≠0,logza=24,logya=40,log(x•y•z)a=12,求logxa.

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5.i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)$\frac{3+i}{1-i}$的虛部為(  )
A.1+2iB.2C.2iD.-2i

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6.如圖(1),在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F(xiàn)分別為AB和CD的中點(diǎn),且AB=EF=2,CD=6,M為BC中點(diǎn),現(xiàn)將梯形BEFC沿EF所在直線折起,使平面EFCB⊥平面EFDA,如圖(2)所示,N是線段CD上一動(dòng)點(diǎn),且CN=λND.
(Ⅰ)當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí),求證:MN∥平面ADFE;
(Ⅱ)當(dāng)λ=1時(shí),求二面角M-NA-F的余弦值.

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