Question

20．如圖所示，要圍建一個面積為400m²的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻時需要維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為3m的進出口，已知舊墻的維修費用為56元/m，新墻的造價為200元/m，設(shè)利用舊墻的長度為x（單位：m），修建此矩形場地的總費用為y（單位：元）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）試確定x的值，使修建此矩形場地的總費用最小，并求出最小總費用．

Answer 1

分析 （1）由題意由題意知，矩形的一邊長為xm，另一邊長為$\frac{400}{x}$m，根據(jù)舊墻的維修費用為56元/m，新墻的造價為200元/m，從而得出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）因為x＞0，所以運用基本不等式求出最小值，利用基本不等式等號成立的條件得出此時x的值．

解答 解：（1）由題意知，矩形的一邊長為xm，另一邊長為$\frac{400}{x}$m，
則y=56x+200（x-3）+200×$\frac{400}{x}$×2
=256x+$\frac{160000}{x}$-600（x＞0）．
故y=256x+$\frac{160000}{x}$-600（x＞0）．
（2）因為x＞0，所以256x+$\frac{160000}{x}$≥2$\sqrt{256×40{0}^{2}}$=12800，
所以y=256x+$\frac{160000}{x}$-600≥12200，
當且僅當256x=$\frac{160000}{x}$，即x=25時，等號成立．
故當利用舊墻的長度為25m時，修建此矩形場地的總費用最小，最小總費用是12200元．

點評 本題考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，注意滿足的條件：一正二定三等，考查了運算能力，屬于中檔題．