Question

6．如圖，在直角三角形BMC中，∠BCM=90°，∠MBC=60°，BM=5，MA=3，且MA⊥AC，AB=4．求MC與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 由勾股定理得MA⊥AB，從而得到MA⊥平面ABC，進(jìn)而得到∠MCA是MC與平面ABC所成的角，由此能求出MC與平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：∵BM=5，MA=3，AB=4，∴AB²+AM²=BM²，
∴MA⊥AB，
又∵M(jìn)A⊥AC，AB、AC?平面ABC，且AB∩AC=A，
∴MA⊥平面ABC，
∴∠MCA是MC與平面ABC所成的角，
∵∠MBC=60°，∴BC=$\frac{1}{2}MB$=$\frac{5}{2}$，MC=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠MCA=$\frac{MA}{MC}$=$\frac{3}{\frac{5\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
∴MC與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．