Question

10．若點P、Q均在橢圓$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-1}}=1$（a＞1）上運動，F(xiàn)₁、F₂是橢圓Γ的左、右焦點，則$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}-2\overrightarrow{PQ}}|$的最大值為2a．

Answer 1

分析 利用向量的平行四邊形法則可得：$\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，代入再利用向量的三角形法則、橢圓的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，
∴$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}-2\overrightarrow{PQ}}|$=$|2\overrightarrow{PO}-2\overrightarrow{PQ}|$=2$|\overrightarrow{OQ}|$≤2a，
∴$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}-2\overrightarrow{PQ}}|$的最大值為2a，
故答案為：2a．

點評 本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的平行四邊形法則與三角形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．