Question

20．關(guān)于二項式（x-1）¹⁹⁹⁹有下列四個命題，
①該二項展開中非常數(shù)項的系數(shù)和為1
②該二項展開式中系數(shù)最大的項是第1000項
③該二項展開式中第6項為C$\stackrel{6}{1999}$X¹⁹⁹³
④當(dāng)x=2000時，（x-1）¹⁹⁹⁹除以2000的余數(shù)是1999，
其中正確的序號是①④．

Answer 1

分析 關(guān)于二項式（x-1）¹⁹⁹⁹有下列四個命題，
①令x=1，可得該二項展開中非常數(shù)項的系數(shù)和=（1-1）¹⁹⁹⁹-（-1）¹⁹⁹⁹，即可判斷出正誤；
②令通項公式T_r+1=${∁}_{1999}^{r}{x}^{1999-r}（-1）^{r}$，則T₁₀₀₀=$-{∁}_{1999}^{999}{x}^{1000}$，T₁₀₀₁=${∁}_{1999}^{1000}{x}^{999}$，即可得出該二項展開式中系數(shù)最大的項是第1001項．
③該二項展開式中第6項為${∁}_{1999}^{5}{x}^{1994}（-1）^{5}$，即可判斷出正誤；
④當(dāng)x=2000時，（x-1）¹⁹⁹⁹=2000¹⁹⁹⁹-${∁}_{1999}^{1}200{0}^{1998}$+…-${∁}_{1999}^{1997}200{0}^{2}$+${∁}_{1999}^{1998}2000$-1=2000M+1999×2000-1=2000M+1998×2000+1999（其中M為正整數(shù)），即可判斷出正誤．

解答 解：關(guān)于二項式（x-1）¹⁹⁹⁹有下列四個命題，
①令x=1，可得該二項展開中非常數(shù)項的系數(shù)和=（1-1）¹⁹⁹⁹-（-1）¹⁹⁹⁹=1，正確；
②令通項公式T_r+1=${∁}_{1999}^{r}{x}^{1999-r}（-1）^{r}$，則T₁₀₀₀=$-{∁}_{1999}^{999}{x}^{1000}$，T₁₀₀₁=${∁}_{1999}^{1000}{x}^{999}$，可知：該二項展開式中二項式系數(shù)最大的項是第1000項與第1001項，而該二項展開式中系數(shù)最大的項是第1001項，因此不正確．
③該二項展開式中第6項為${∁}_{1999}^{5}{x}^{1994}（-1）^{5}$，而不是${∁}_{1999}^{6}$X¹⁹⁹³，因此不正確；
④當(dāng)x=2000時，（x-1）¹⁹⁹⁹=2000¹⁹⁹⁹-${∁}_{1999}^{1}200{0}^{1998}$+…-${∁}_{1999}^{1997}200{0}^{2}$+${∁}_{1999}^{1998}2000$-1=2000M+1999×2000-1
=2000M+1998×2000+1999（其中M為正整數(shù)），∴當(dāng)x=2000時，（x-1）¹⁹⁹⁹除以2000的余數(shù)是1999，正確．
其中正確的序號是①④．
故答案為：①④．

點評 本題考查了二項式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．