Question

9．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為$\sqrt{3}$
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點(diǎn)D（-1，0）的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，若在x軸上存在一點(diǎn)P（x₀，0）使得△PEF是等邊三角形，求x₀的值．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程與拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為$\sqrt{3}$，列出方程，由此方程求出p的值．
（2）設(shè)直線l的方程，代入拋物線方程，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，則線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)以及AB的中垂線的方程可得，把y=0代入方程，最后利用△ABE為正三角形，利用正三角的性質(zhì)推斷E到直線AB的距離的關(guān)系式求得k，則x₀可求．

解答 解：（1）∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴雙曲線的漸近線方程是y=±$\frac{a}$x
又拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是x=-$\frac{p}{2}$，
故A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±$\frac{pb}{2a}$，
又由雙曲線的離心率為2，所以$\frac{c}{a}$=2，則$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±$\frac{pb}{2a}$=±$\frac{\sqrt{3}p}{2}$，
又△AOB的面積為$\sqrt{3}$，x軸是角AOB的角平分線
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}p×\frac{p}{2}$=$\sqrt{3}$，得p=2，
∴拋物線C的方程y²=4x；
（2）由題意知：直線l的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為：y=k（x+1），
其中k≠0代入y²=4x，得k²x²+2（k²-2）x+k²=0①
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-$\frac{2（{k}^{2}-2）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1
所以，線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），線段EF的垂直平分線方程為y-$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}$），
令y=0，x₀=$\frac{2}{{k}^{2}}$+1，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2}{{k}^{2}}$+1，0）．
因?yàn)椤鱌EF為正三角形，所以，點(diǎn)P（$\frac{2}{{k}^{2}}$+1，0）到直線EF的距離等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，
而|EF|=$\frac{4\sqrt{1-{k}^{2}}}{{k}^{2}}•\sqrt{1+{k}^{2}}$．
所以，$\frac{2\sqrt{3}•\sqrt{1-{k}^{2}}}{{k}^{2}}=\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|}$解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以x₀=$\frac{11}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出三角形的面積與離心率的關(guān)系也是本題的解題關(guān)鍵，有一定的運(yùn)算量，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，防運(yùn)算出錯(cuò)．