Question

14．已知F₁、F₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，滿足：
①∠F₁AF₂的最大值為60°
 ②若圓C與F₁A的延長(zhǎng)線、F₁F₂的延長(zhǎng)線以及線段AF₂相切，則M（2，0）為其中一個(gè)切點(diǎn)，則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 由題意可知：由切線的性質(zhì)可知：丨AP丨=丨AQ丨，丨F₂Q丨=丨F₂M丨，丨F₁P丨=丨F₁M丨，丨MF₂丨=丨QF₂丨=（丨AF₁丨+丨AF₂丨）-（丨AF₁丨+丨AQ丨），2a-丨F₁M丨，丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a，即丨OF₁丨+丨OM丨+丨OM丨-丨OF₂丨=2a，即可求得a=2，當(dāng)A位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，∠F₁AF₂最大，因此△F₁AF₂為等邊三角形，即可求得c的值，則b²=a²-c²=3，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意知，圓C是△AF₁F₂的旁切圓，
點(diǎn)M（2，0）是圓C與x軸的切點(diǎn)，
設(shè)圓C與直線F₁A的延長(zhǎng)線、AF₂分別相切于點(diǎn)P，Q，
則由切線的性質(zhì)可知：
丨AP丨=丨AQ丨，丨F₂Q丨=丨F₂M丨，丨F₁P丨=丨F₁M丨，
∴丨MF₂丨=丨QF₂丨=（丨AF₁丨+丨AF₂丨）-（丨AF₁丨+丨AQ丨）
=2a-丨AF₁丨-丨AQ丨
=2a-丨F₁P丨
=2a-丨F₁M丨
∴丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a，丨OF₁丨+丨OM丨+丨OM丨-丨OF₂丨=2a，
∴2+2=2a，解得：a=2．
由∠F₁AF₂的最大值為60°，即當(dāng)A位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，∠F₁AF₂最大，
∴△F₁AF₂為等邊三角形，
∴2c=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．