Question

16．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-2x，若對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈（-2，4），關(guān)于x的程f（x）=tf（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（x）=x|x-a|-2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+2）x，x≥a}\\{-{x}^{2}+（a-2）x，x≤a}\end{array}\right.$，從而討論，當(dāng)2≤a＜4時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性可得$\left\{\begin{array}{l}{-2a＜-2ta}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-a+1＞-2ta}\end{array}\right.$對(duì)a∈（2，4）恒成立，當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性可得-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a-1＜-2ta＜$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+1對(duì)-2＜a＜2恒成立，從而解得．

解答 解：f（x）=x|x-a|-2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+2）x，x≥a}\\{-{x}^{2}+（a-2）x，x≤a}\end{array}\right.$，
tf（a）=-2ta，
當(dāng)2≤a＜4時(shí)，$\frac{a-2}{2}$＜$\frac{a+2}{2}$≤a，
故f（x）在（-∞，$\frac{a-2}{2}$）上遞增，在（$\frac{a-2}{2}$，a）上遞減，在（a，+∞）上增函數(shù)；
故f_極大（x）=f（$\frac{a-2}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+1，f_極小（x）=f（a）=-2a；
故$\left\{\begin{array}{l}{-2a＜-2ta}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-a+1＞-2ta}\end{array}\right.$對(duì)a∈（2，4）恒成立，
解得，0＜t＜1；
當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，$\frac{a-2}{2}$＜a＜$\frac{a+2}{2}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{a-2}{2}$）上遞增，在（$\frac{a-2}{2}$，$\frac{a+2}{2}$）上遞減，在（$\frac{a+2}{2}$，+∞）上增函數(shù)；
故f_極大（x）=f（$\frac{a-2}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+1，f_極小（x）=f（$\frac{a+2}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a-1；
故-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a-1＜-2ta＜$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+1對(duì)-2＜a＜2恒成立；
解得，0≤t≤1；
綜上所述，0＜t＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及分段函數(shù)的判斷與應(yīng)用及恒成立問(wèn)題．