Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|，x≤2}\\{-\frac{1}{4}{x}^{2}+2x-3，x＞2}\end{array}\right.$，如在區(qū)間（1，+∞）上存在n（n≥2，n∈N^*）個(gè)不同的數(shù)x₁，x₂，…x_n，使得$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$成立，則n的取值集合是{2，3}．

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$的幾何意義為這些點(diǎn)有相同的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{f（x）}{x}$表示（x，f（x））點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
∴$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$的幾何意義
為這些點(diǎn)有相同的斜率，
作出函數(shù)f（x）的圖象，在區(qū)間（1，+∞）上，
y=kx與函數(shù)f（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有1個(gè)，2個(gè)或者3個(gè)，
故n=n=2或n=3，
即n的取值集合是{2，3}．
故答案為：{2，3}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是斜率公式，正確理解$\frac{f（x）}{x}$表示（x，f（x））點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率是解答的關(guān)鍵．