Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+

π

6

）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函數(shù)的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先通過三角函數(shù)的恒等變換，把三角函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用上步的結(jié)論，進一步利用函數(shù)的定義域求出三角函數(shù)的值域．

解答： （12分）
解：（Ⅰ）f（x）=cos x（

3

sin x+cos x）+1
=cos²x+

3

sin x cos x+1
=

cos2x+1

2

+

3 sin2x

2

+1
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

∵T=

2π

ω

=

2π

2

=π
即函數(shù)f（x）的最小正周期為：π．
由f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

令：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，（k∈Z）
故函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）
（Ⅱ）x∈[-

π

6

，

π

3

]，-

π

3

≤2x≤

2π

3

，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴1≤sin（2x+

π

6

）+

3

2

≤

5

2

∴函數(shù)的值域為[1，

5

2

]．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變形問題，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，周期性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的值域．屬于基礎(chǔ)題型．