Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+3，g（x）=mx+5-2m．
（Ⅰ）若函數(shù)F（x）=f（3^x），x∈[-1，1]，F(xiàn)（x）的最小值為h（a），求h（a）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[1，4]，當a=2時f（x）的值域為A，g（x）的值域為B，A∪B=B，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）換元法轉化為二次函數(shù)求解，F(xiàn)（x）=y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，則對稱軸為t=a，根據(jù)對稱軸與區(qū)間 的關系討論①當a≤

1

3

時，t=

1

3

時，F(x)min=h(a)=

28

9

-

2a

3

，②當

1

3

＜a＜3時，t=a時，F(x)min=h(a)=3-a2，③當a≥3時，t=3時，F(xiàn)（x）_min=h（a）=12-6a．
（Ⅱ）分類討論求解即可①當m=0時，g（x）=5，為常數(shù)，不符合題意；②當m＞0時，B=[5-m，5+2m]，需

5-m≤-1 5+2m≥3

，解得m≥6，
③當m＜0時，B=[5+2m，5-m]，需

5+2m≤-1 5-m≥3

，解得m≤-3．

解答： 解：（Ⅰ）設t=3^x，∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

3

，3]，
令F（x）=y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，則對稱軸為t=a，
①當a≤

1

3

時，t=

1

3

時，F(x)min=h(a)=

28

9

-

2a

3

，
②當

1

3

＜a＜3時，t=a時，F(x)min=h(a)=3-a2，
③當a≥3時，t=3時，F(xiàn)（x）_min=h（a）=12-6a．
綜上：h(a)=

28 9 - 2a 3 ，a≤ 1 3 3-a2， 1 3 ＜a＜3 12-6a，a≥3

，
（Ⅱ）當a=2時，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1
∵x∈[1，4]，∴f（x）的值域A=[-1，3]，
∵A∪B=B，∴A⊆B，下面求g（x）的值域B
①當m=0時，g（x）=5，為常數(shù)，不符合題意；
②當m＞0時，B=[5-m，5+2m]，∵A⊆B，
需

5-m≤-1 5+2m≥3

，解得m≥6，
③當m＜0時，B=[5+2m，5-m]，∵A⊆B，
需

5+2m≤-1 5-m≥3

，解得m≤-3．
綜上：m≥6或m≤-3．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的思想，不等式的運用，屬于綜合題，但是難度不大，關鍵是確定分類的標準．