Question

18．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x+y-3=0和圓M：x²+（y-m）²=8，若圓M上存在點P，使得P到直線l的距離為3$\sqrt{2}$，則實數(shù)m的取值范圍是[-7，1]∪[5，13]．

Answer 1

分析 設P（2$\sqrt{2}$cosθ，m+2$\sqrt{2}$sinθ），由P到直線l：x+y-3=0的距離為3$\sqrt{2}$，得$|4sin（θ+\frac{π}{4}）-3+m|$=6，由此利用三角函數(shù)性質能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵圓M：x²+（y-m）²=8，圓M上存在點P，
∴設P（2$\sqrt{2}$cosθ，m+2$\sqrt{2}$sinθ），
∵P到直線l：x+y-3=0的距離為3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|2\sqrt{2}cosθ+m+2\sqrt{2}sinθ-3|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即$|4sin（θ+\frac{π}{4}）-3+m|$=6，
∵$-7≤4sin（θ+\frac{π}{4}-3）+m≤1$，
∴-7≤m≤1或5≤m≤13，
∴實數(shù)m的取值范圍是[-7，1]∪[5，13]．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式和三角函數(shù)性質的合理運用．