Question

8．定義在R上的奇函數(shù)f（x），若當x＞0總有f′（x）＜2xf（x）+e${\;}^{{x}^{2}}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成立，f（1）=e，則不等式f（x）≥xe${\;}^{{x}^{2}}$的解集為（　�。�

• A． （-∞，-1]∪（0，1]
• B． （-∞，-1]∪[0，1]
• C． （0，1]
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$，求函數(shù)的導數(shù)，判斷導數(shù)g′（x）的范圍，再次構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$-x，判斷計算的單調(diào)性，將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{{x}^{2}}-2x{e}^{{x}^{2}f（x）}}{（{e}^{{x}^{2}}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-2xf（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$，
∵當x＞0總有f′（x）＜2xf（x）+e${\;}^{{x}^{2}}$，
∴此時g′（x）=$\frac{f′（x）-2xf（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$＜$\frac{2xf（x）+{e}^{{x}^{2}}-2xf（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$=1，
則設(shè)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$-x，
則F′（x）=g′（x）-1＜0，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$-x，為單調(diào)遞減函數(shù)，且F（1）=$\frac{f（1）}{e}-1=\frac{e}{e}-1=1-1=0$，
則當x＞1時，F(xiàn)（x）＜F（1）≥0，不滿足條件．
當0＜x≤1時，F(xiàn)（x）＞F（1）=0，成立，
當x≤-1時，F(xiàn)（x）≥F（1）≥0，成立，
當x=0時，f（x）=0，則不等式f（x）≥xe${\;}^{{x}^{2}}$成立，
綜上不等式f（x）≥xe${\;}^{{x}^{2}}$的解集為（-∞，-1]∪[0，1]，
故選：B．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)導數(shù)的關(guān)系，連續(xù)兩次構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．