Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為R，對任意的實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+ ，且f（ ）=0，當x＞ 時，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由對任意的實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+ ，且f（ ）=0，

令y=x= ，得f（1）=f（ ）+f（ ）+ =

（2）解：設x＞0 則x+ ．

∴ ．

即f（x）＞﹣ ，

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＞x2

則x1﹣x2＞0

∴f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x1﹣x2）+f（x2）+ ＞f（x2）

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上為增函數

【解析】（1）利用賦值法，令y=x= 即可求得f（1）的值；（2）由當x＞ 時，f（x）＞0，結合給出的等式得到當x＞0時，f（x）＞﹣ ，然后利用函數單調性定義，借助于題目給出的等式判斷．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．