Question

已知a，b是不相等的正數(shù)，在a，b之間分別插入m個正數(shù)a1，a2，…，am和正數(shù)b1，b2，…，bm，使a，a1，a2，…，am，b是等差數(shù)列，a，b1，b2，…，bm，b是等比數(shù)列．

（1）若m＝5，＝，求的值；

（2）若b＝λa(λ∈N*，λ≥2)，如果存在n (n∈N*，6≤n≤m)使得an－5＝bn，求λ的最小值及此時m的值；

（3）求證：an＞bn(n∈N*，n≤m)．

Answer 1

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，

則d＝，q＝．

a3＝a＋3d＝，b3＝aq3＝．         　

因為＝，所以2a－5＋2b＝0，解得＝4或．  　

     （2）因為λa＝a＋(m＋1)d，所以d＝a，從而得an＝a＋a×n．

  因為λa＝a×qm＋1，所以q＝λ，從而得bn＝a×λ．

  因為an－5＝bn，所以a＋×a＝a×λ．

  因為a＞0，所以1＋＝λ（*）．     　

  因為λ，m，n∈N*，所以1＋為有理數(shù)．

  要使（*）成立，則λ必須為有理數(shù)．

  因為n≤m，所以n＜m＋1．

  若λ＝2，則λ為無理數(shù)，不滿足條件．

  同理，λ＝3不滿足條件．          　

  當λ＝4時，4＝2．要使2為有理數(shù)，則必須為整數(shù)．

  又因為n≤m，所以僅有2n＝m＋1滿足條件．

  所以1＋＝2，從而解得n＝15，m＝29．

綜上，λ最小值為4，此時m為29．     　

(3)證法一：設(shè)cn＞0，Sn為數(shù)列{cn}的前n項的和．

先證：若{cn}為遞增數(shù)列，則{}為遞增數(shù)列．

證明：當n∈N*時，＜＝bn＋1．    

因為Sn＋1＝Sn＋bn＋1＞Sn＋＝Sn，所以＜，即數(shù)列{}為遞增數(shù)列．     

同理可證，若{cn}為遞減數(shù)列，則{}為遞減數(shù)列． 　

①當b＞a時，q＞1．當n∈N*，n≤m時，＞．

即＞，即＞．   

因為b＝aqm＋1，bn＝aqn，d＝，

所以d＞，即a＋nd＞bn，即an＞bn．      

②當b＜a時，0＜q＜1，當n∈N*，n≤m時，＜．

即＜．

因為0＜q＜1，所以＞．以下同①．

綜上， an＞bn(n∈N*，n≤m)．