Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=xe^x-ae^2x（a∈R）
（I）當(dāng)a≥$\frac{1}{e}$時(shí)，求證：f（x）≤0．
（II）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分析法，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-ae^x，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出，
（Ⅱ）函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于y=f'（x）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即方程$2a=\frac{x+1}{e^x}$有兩個(gè)不相同的根，構(gòu)造函數(shù)$h（x）=\frac{x+1}{e^x}$，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，問題得以解決．

解答 解：（ I）證明：f（x）=xe^x-ae^2x=e^x（x-ae^x）
∵e^x＞0，只需證：當(dāng) $a≥\frac{1}{e}時(shí)，x-a{e^x}≤0$即可--------------------------------（1分），
g（x）=x-ae^x，g'（x）=1-ae^x=0
∴${e^x}=\frac{1}{a}$，
∴$x=ln\frac{1}{a}$--------------------------------------------------（2分），
$x∈（{-∞，ln\frac{1}{a}}），g'（x）＞0，g（x）遞增；x∈（{ln\frac{1}{a}，+∞}），g'（x）＜0，g（x）遞減$------（4分），
$g（x）≤g（{ln\frac{1}{a}}）=ln\frac{1}{a}-a{e^{ln\frac{1}{a}}}=ln\frac{1}{a}-1≤lne-1=0$
∴當(dāng) $a≥\frac{1}{e}時(shí)，x-a{e^x}≤0$從而當(dāng)$a≥\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）≤0------------------（6分）
（ II）f'（x）=（x+1）e^x-2ae^2x=e^x（x+1-2ae^x）
函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于y=f'（x）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)
即方程$2a=\frac{x+1}{e^x}$有兩個(gè)不相同的根-----------------------------------（7分）
設(shè)$h（x）=\frac{x+1}{e^x}$，$h'（x）=\frac{-x}{e^x}$，x∈（-∞，0），h'（x）＞0，h（x）遞增；x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）遞減--------（9分），
h（x）_max=h（0）=1，h（-1）=0---------------------------------------（10分），
x＞-1，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，x→-∞，h（x）→-∞
當(dāng)$0＜2a＜1即0＜a＜\frac{1}{2}時(shí)，y=2a與y=h（x）$有兩個(gè)交點(diǎn)
方程$2a=\frac{x+1}{e^x}$有兩個(gè)不相同的根，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)----------------------（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及由函數(shù)零點(diǎn)的問題求參數(shù)的取值范圍，求解本題關(guān)鍵是記憶好求導(dǎo)的公式以及極值的定義，要注意正確轉(zhuǎn)化，恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以大大降低解題難度．