Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax，其中a≥1，求函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最值．

Answer 1

分析 求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由a≥1，考慮x＞0時(shí)，0＜$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜1，可得f（x）在（0，+∞）遞減，即有函數(shù)f（x）在[a，+∞）上遞減，可得f（x）的最值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$•2x-a
=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a，
當(dāng)x＞0時(shí)，由0＜$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$＜1，可得0＜$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜1，
由a≥1，可得$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a＜0，
則f（x）在（0，+∞）遞減，
即有函數(shù)f（x）在[a，+∞）上遞減，
則f（x）的最大值為f（a）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$-a²，無(wú)最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．