Question

3．設(shè)正實數(shù)x，y滿足xy=$\frac{x-9y}{x+y}$，則y的最大值是$\sqrt{10}$-3．

Answer 1

分析 正實數(shù)x，y滿足xy=$\frac{x-9y}{x+y}$，化為yx²+（y²-1）x+4y=0，由于關(guān)于x的方程有正實數(shù)根，可知△≥0．又x₁x₂=4＞0，可知x₁與x₂同號，必有x₁+x₂=$\frac{1-{y}^{2}}{y}$，解得0＜y＜1．再利用△≥0．解出即可得到最大值．

解答 解：正實數(shù)x，y滿足xy=$\frac{x-9y}{x+y}$，
化為yx²+（y²-1）x+9y=0，
∵關(guān)于x的方程有正實數(shù)根，∴△≥0．
又x₁x₂=$\frac{9y}{y}$=9＞0，∴x₁與x₂同號，
∴x₁+x₂=$\frac{1-{y}^{2}}{y}$＞0，解得0＜y＜1．
由△≥0．∴（y²-1）²-36y²≥0，
∴（y²+6y-1）（y²-6y-1）≥0．
∵0＜y＜1，∴y²-6y-1＜0，
∴y²+6y-1≤0，
解得0＜y≤$\sqrt{10}$-3．
∴實數(shù)y的最大值為$\sqrt{10}$-3．
故答案為：$\sqrt{10}$-3．

點評 本題考查了一元二次方程有正實數(shù)根與判別式的關(guān)系、一元二次不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．