Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥DB，其中三棱錐P-BCD的三視圖如圖所示，且sin∠BDC=

3

5

（I）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）若PA與平面PCD所成角的正弦值為 

12 13

65

，求AD的長．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得AD⊥PD，AD⊥DB，從而AD⊥PD，又AD⊥DB，進而AD⊥平面PBD，由此能證明AD⊥PB．
（Ⅱ）以D為原點，以DA、DB、DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AD．

解答： （Ⅰ）證明：由三視圖得PD⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，∴AD⊥PD，
又AD⊥DB，且PD∩BD=D，PD，BD?平面PBD，
∴AD⊥PD，又AD⊥DB，且PD∩BD=D，
PD、BD?平面PBD，
∴AD⊥平面PBD，
又PB?平面PBD，∴AD⊥PB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，PD、AD、BD兩兩垂直，
以D為原點，以DA、DB、DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所求的空間直角坐標系，
設(shè)AD=λ，λ＞0，結(jié)合sin∠BDC=

3

5

，得：
A（λ，0，0），B（0，3，0），C（-

9

5

，-

12

5

，0），P（0，0，4），
∴

PA

=（λ，0，-4），

DC

=（-

9

5

，

12

5

，0），

DP

=（0，0，4），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面PCD的法向量，
由題意知

DP • n =4z=0 DC • n =- 9 5 x+ 12 5 y=0

，
取y=3，得

n

=（4，3，0），
設(shè)PA與平面PCD所成角為θ，
∵PA與平面PCD所成角的正弦值為

12 13

65

，
∴sinθ=|cos＜

PA

，

n

＞|=|

4λ

5 λ2+16

|=

12 13

65

，
解得λ=6，∴AD=6．

點評：本題考查幾何體的三視圖、線面角的計算、線面、線線垂直的位置關(guān)系，考查空間想象能力以及論證推理能力．